Variatierekening, Hamilton's stationaire actie

De hoofdinhoud van deze pagina is het stationaire actie diagram

De afbeelding met het zeepvlies en het diagram eronder zijn hier als bijdrage voor context.

Image credit: Susan Schwartzenberg - Exploratorium

Aan de rechterkant van het diagram word een dwarsdoorsnede van een catenoïde oppervlak getoond. Het getal in de rechterhoek onderaan is de totale oppervlakte.

Om zelf de staat van minimale oppervlakte te vinden: maak de schuifregelaars door de war, en ga dan net zolang door met terug afregelen dat je weer uitkomt bij de vorm met geminimaliseerd oppervlak. (Als tijdsbesparing: schuif alleen de eerste drie schuifregelaars door de war; laat de vierde schuifregelaar in de uitgangspositie staan.)

In de positie met globaal geminimaliseerde oppervlakte: voor ieder van de schuifregelaars geldt dat de reactie op variatie stationair is. Om te garanderen dat de globale oppervlakte minimaal is, is het voldoende dat voor iedere subsectie de oppervlakte minimaal is.

Variatierekening is dat je naar de limiet van infinitisimaal kleine subsecties gaat.

Representatie in de vorm van wiskundige uitdrukkingen is beschikbaar in het hoofdartikel over Variatierekening, zoals het in fysica wordt toegepast. (Engelstalig)

Voor het volgende diagram, de hoofd-inhoud van deze pagina, raad ik aan om naast elkaar twee instanties van je browser te openen. Gebruik de ene instantie om de hele tijd het diagram in beeld te houden, en de tweede om stap voor stap de beschrijving door te nemen.

Potential propertional to the cube of the height

Het geval dat in het interactieve diagram wordt weergegeven is het geval van een object dat verticaal omhoog wordt geworpen, onderhevig aan een potentiaal die toeneemt met de derde macht van de hoogte.

Natuurlijk, een geval met een potentiaal die toeneemt met de derde macht van de hoogte zal in de echte wereld niet voorkomen. De reden om speciaal die potentiële energie functie te gebruiken: de weergave die daaruit voortkomt is beter dan andere voor het doel van tonen hoe Hamilton's stationaire actie werkt.

Het interactieve diagram als geheel bevat drie sub-panelen met een opeenvolging van diagrammen.
Eerste diagram: de assen hebben als aanduiding: 'time' en 'height'
Tweede diagram: de assen hebben als aanduiding: 'time' and 'energy'
Derde diagram: de assen hebben als aanduiding: 'variation' and 'integral'

De schuifregelaar schuift de weergave door de variatie-ruimte. de schuifregelaar verandert hoe hoog het test-traject reikt. De weergave in het tweede diagram volgt de staat waarin het eerste diagram verkeert, de weergave in het derde diagram volgt de staat waarin het tweede diagram verkeert.

Eerste diagram
De grijze curve toont het ware traject. Het ware traject is verkregen door toepassing van numerieke analyse, Runge Kutta 4. Voor de numerieke analyse is een uitdrukking voor de versnelling \(a\) nodig. Die is verkregen door de potentiaal te differentiëren naar positie-coördinaat: Met \(h\) voor 'hoogte': \( {a = \tfrac{d(h^3)}{dh}=3h^2 } \)

In het diagram: op het moment van tijd-cöordinaat \({t=1}\) is het object helemaal teruggevallen naar hoogte nul; die timing werd bereikt door exact afregelen van de begin-snelheid.

De oranje curve is een benadering van het ware traject door middel van een polynoom. De vorm van de polynoom is: \({f(x)=a + bx^2+cx^4+dx^6}\). The variatie wordt toegepast door de waarde van de polynoom te vermenigvuldigen met de waarde van de schuifregelaar.

In de programmering van het diagram: voor het berekenen van de waarde van de kinetische energie is de waarde van de snelheid \(\tfrac{ds}{dt}\) nodig. De polynoom voor de positie is gedifferentiëerd naar de tijd; de programmering gebruikt die afgeleide polynoom om de waarde van de snelheid te verkrijgen.

Tweede diagram
Zoals we weten: de som van kinetische energie en potentiële energie is een onveranderlijke hoeveelheid. Dat houdt in: het ware traject heeft de eigenschap dat de hele tijd de curve voor de kinetische energie en de curve voor de minus potentiële energie parallel aan elkaar zijn. Om die reden is in het diagram de weergave van de potentiële energie een weergave van de minus potentiële energie

De vorm van de energie-curve wordt bepaald door de volgende twee factoren: de vorm van het traject, en hoe de energie een functie van positie danwel snelheid is. Bij verplaatsing van de schuifregelaar voor de variatie parameter 'p': er is één punt in die variatie-ruimte waar de rode curve (\(E_k\)) en de groene curve (-\(E_p\)) gedurende de hele tijd parallel aan elkaar zijn: bij de waarde 1.00.

Derde diagram
De rode stip en de groene stip tonen de waarde van de respectievijke integralen, als functie van de parameter 'p'. De graphlet berekent de waarde door de curve in het tweede diagram numeriek te integreren.

De laatste toevoeging was het passen van de gekleurde lijn (die een functie is van de parameter 'p'). De gekleurde lijn is aangepast om de beweging van de stip te volgen.

Het diagram demonstreert: bij toepassen van variatie: omdat \({\small \tfrac{1}{2}}mv^2\) kwadratisch is, verandert de kinetische-energie-integraal evenredig met een kwadratische functie. Voor de potentiële energie: in het geval dat hier wordt getoond is de potentiële energie een derdemachts functie van de hoogte, en overeenkomstig is de waarde van de potentiële-energie-integraal evenredig met een derdemachts functie.

Het patroon zoals het zich ontvouwt in dit diagram generaliseert naar alle gevallen van toepassing van Hamilton's stationaire actie.
Kinetische energie:
Variatie van het test-traject werkt altijd kwadratisch door naar de kinetische-energie-integraal omdat \({\small \tfrac{1}{2}}mv^2\) een kwadratische uitdrukking is.
Potentiële energie:
Gegeven is dat de potentiële energie iedere macht van de positie-coördinaat kan zijn. Als de potentiële energy tot de macht \(n\) is, dan verandert de integraal van de potentiële energie evenredig met de macht \(n\). Voorbeeld: zwaartekracht is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand: \({F_g \propto r^{-2}}\); de corresponderende potentiaal is evenredig met \(r^{-1}\). Die \(r^{-1}\) evenredigheid werkt door naar de integraal.

Variatie en positie-coördinaat

Een sleutelbegrip voor variatierekening is als volgt: de richting waarin variatie wordt toegepast valt samen met de richting van de positie-coördinaat.

(In dit diagram is er één graad van vrijheid, de relatie generaliseert naar gevallen met meerdere vrijheidsgraden. Met twee graden van vrijheid: voor iedere vrijheidsgraad wordt er een corresponderende variatie toegepast.

Hoe de toegepaste variatie de integraal verandert

In het derde diagram: met de schuifregelaar beweeg je door de variatie-ruimte. Wanneer de schuifregelaar op de waarde \({p=1.0}\) staat is de afgeleide van de blauwe curve nul. Wiskundige relatie: de blauwe curve toont de som van de rode curve en de groene curve: op \({p=1.0}\) zijn de hoeken van rode curve en de groene curve tov de horizontaal even groot, de ene opwaarts, de andere neerwaarts.

In het eerste diagram: de derdemachts-aard van de potentiaal bepaald de vorm van het traject. Die derdemachts-aard werkt door naar de integraal die in het derde diagram is afgebeeld.

Het ware traject heeft de eigenschap dat de verandering van de kinetische energy even snel gaat als de verandering van de potentiële energie. Die eigenschap werkt door naar de respectievelijke integralen; het ware traject heeft de eigenschap dat de afgeleide naar positie van de kinetische-energie-integraal even groot is waarde heeft als de afgeleide naar positie van de potentiële-energie-integraal, en daardoor: voor het ware traject is de afgeleide van Hamilton's actie nul.

Representatie in the vorm van wiskundige uitdrukkingen is beschikbaar in het hoofdartikel over Hamilton's stationaire actie (Engelstalig)

Tekst, afbeeldingen en animaties zijn beschikbaar gesteld voor anderen onder de volgende voorwaarden:
Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License.

Laatste keer dat deze pagina is bewerkt: 11 oktober 2025.