Dit artikel is onderdeel van een groep van drie; het gemeenschappelijke element is variatierekening. In klassieke fysica wordt variatierekening in drie gebieden toegepast: Optica, Statica, en Dynamica. Bespreking van toepassing in statica is inbegrepen in het 'Grondslagen' artikel.
De andere twee artikelen:

Grondslagen: Variatierekening
Dynamica: Hamiltons stationaire actie

De stationaire tijd van Fermat

Breking van licht

Wanneer licht een overgang van medium heeft met verschil in optische dichtheid dan is er breking. De wet van Snellius beschrijft deze breking. De wet van Snellius werd geformuleerd in een tijd dat er nog geen zicht was op de onderliggende fysica.

Christiaan Huygens stelde voor om de wet van Snellius te begrijpen in termen van een golffront effect. Het is gebruikelijk om daarnaar te verwijzen met de naam 'Principe van Huygens', maar ik geef de voorkeur aan de naam ‘golffront hypothese’.

(In ben van mening dat de kwalificatie ‘Principle’ te vaak wordt gebruikt. Als alles een principe is dan heeft het woord ‘principle’ geen betekenis meer.

Eigenschap van het golffront: in een uniform medium is het golffront exact haaks op de richting van voortplanting.

Afbeelding 1. Afbeelding
Breking door hervormen van golffront

In het tijd interval 't': in het dichtere medium is de voortplanting van het golffront langzamer dan in het ijlere medium, in de verhouding v2/v1. Hieronder: uitdrukking (3) volgt uit (1) en (2). Uitdrukking (3) is gelijkwaardig aan de wet van Snellius:


\sin \alpha_1 = \frac{v_1 t}{d} \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{\sin \alpha_1}{v_1} = \frac{t}{d}
(1)

(2)

\frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1} = \frac{v_2}{v_1}
(3)

Afbeelding 1. toont hoe Huygens' golffront hypothese leidt naar de wet van Snellius.

De volgende fase is om van (3) naar Fermat's stationaire tijd te gaan.


Tijd en Ruimte

De lengte van een traject waarlangs licht zich heeft voortgeplant: we kunnen dat uitdrukken in termen van ruimtelijke lengte, of in termen van tijdsduur; de omzetting is rechttoe rechtaan.

Huygens' golffront hypothese en Fermats stationaire tijd hebben als gemeenschappelijk element de veronderstelling dat in een optisch dichter medium de verplaatsing van het golffront langzamer is. Huygens golffront hypothese voegt daaraan toe de hypothese dat voortplanting van licht een golfkarakter heeft.

Overigens, het idee van de golffront hypothese is dus dat de frequentie van de voortplantende golf hetzelfde blijft. Dat wil zeggen: het proces van lichtbreking kan worden gezien als een proces waarbij er behoud is van frequentie van het golffenomeen.


Rechthoekige driehoeken

In voorbereiding: bespreking van een geometrische eigenschap van rechthoekige driehoeken.

Afbeelding 2. Diagram

Verandering van de lengte van lijnstuk A verandert de lengte van de hypotenusa C.


Afbeelding 3. Diagram

In de limiet van ΔA infinitisimaal klein heeft de kleine driehoek met de zijden ΔA and ΔC dezelfde hoeken als de driehoek met de zijden C and A. In de limiet:

\frac{dC}{dA} = \frac{A}{C}
(4)

Bevestiging van de geometrisch verkregen uitkomst: het theorema van Pythagoras gebruiken om differentiatie van C naar A, uit te werken:

\frac{dc}{da} = \frac{d(\sqrt{a^2 + b^2})}{da} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a}{c}
(5)

De reden dat (4) belangrijk is: de verhouding A/C is de sinus van de hoek tegenover A.

(4) is een geometrische eigenschap, de geldigheid ervan staat mathematisch op zichzelf; het is niet specifiek voor optica, het is niet specifiek voor fysica.



Afbeelding 4. Afbeelding

In afbeelding 4.: de letter 'S' staat voor ‘Snells punt’. Er is een onbeweeglijk punt waarvandaan het licht wordt verzonden, punt 'T', en er is een onbeweeglijk punt 'R' waar het licht wordt gedetecteerd. (T en R worden in de afbeelding niet getoond. T en R hoeven niet dichtbij te zijn; ze kunnen willekeurig ver weg staan.)

Als het geaccepteerd is dat het golffront haaks is op de richting van voortplanting dan volgt daaruit dat de hoek β1 gelijk is aan de hoek α1, en dat de hoek β2 gelijk is aan de hoek α2.

Laatste stuk voorbereiding: expliciet uitdrukken van de relatie tussen de lengte van lijnstuk C, en de tijd die het kost om die afstand te overbruggen.

\frac{C_1}{v_1} = T_1 \qquad \frac{C_2}{v_2} = T_2
(6)

The variatie

De variatie van het traject van het licht bestaat eruit dat de hoek van het invallende licht wordt veranderd; verandering van de hoek geeft verplaatsing van het punt S langs de brekingslijn. We zoeken het punt in de variatie-ruimte waar er aan de wet van Snellius wordt voldaan.


Aanbeveling: open naast elkaar twee instanties van je browser, allebei met deze pagina open. Gebruik de ene om stap voor stap te lezen, en de andere om terug te scrollen wanneer de bespreking terug verwijst naar een eerdere vergelijking.

We beginnen met (3), de relatie die direct volgt uit Huygens golffront hypothese.

\frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1} = \frac{v_2}{v_1}
(7)

Voor de ingaande straal en de gebroken straal: noteer de sinus als de verhouding A/C:

\frac{A_1}{C_1}\frac{1}{v_1} = \frac{\sin\alpha_1}{v_1} = \frac{\sin\alpha_2}{v_2} = \frac{A_2}{C_2}\frac{1}{v_2}
(8)

De volgende stap maakt gebruik van (4): dC/dA = A/C, maar dan in omgekeerde richting: de verhouding A/C wordt opgevat als de uitkomst van een differentiatie: de differentiatie dC/dA:

\frac{dC_1}{dA_1}\frac{1}{v_1} = \frac{A_1}{C_1}\frac{1}{v_1} = \frac{A_2}{C_2}\frac{1}{v_2} = \frac{dC_2}{dA_2}\frac{1}{v_1}
(9)

Door de wisseling is de factor C in de noemer van de breuk terechtgekomen, dat maakt dat we de factor 1/v in de differentiatie kunnen absorberen: C/v=T

\frac{dT_1}{dA_1} = \frac{dC_1}{dA_1}\frac{1}{v_1} = \frac{dC_2}{dA_2}\frac{1}{v_1} = \frac{dT_2}{dA_2}
(10)

Het resultaat:

\frac{dT_1}{dA_1} = \frac{dT_2}{dA_2}
(11)

Recapituleren: we begonnen met de golffront hypothese van Huygens, vandaar naar de wet van Snellius, en vandaar naar (11).

We kunnen (11) verder uitwerken door gebruik te maken van het feit dat A1 and A2 niet onafhankelijk zijn; A1 vermeerderen met een hoeveelheid Δ A1 vermindert A2 met de dezelfde hoeveelheid; Δ A2 = -Δ A1. We kunnen (11) dus herschrijven als afgeleiden naar variatie van één enkel punt: Snell's punt S. De variatie-ruimte is een hypothetische ruimte; ik zal verwijzen naar de positie in deze hypothetische ruimte als Sh.

\frac{dT_1}{dS_h} = \frac{dT_2}{d(-S_h)}
(12)

Het min-teken kan buiten de differentiatie worden gehaald:

\frac{dT_1}{dS_h} = -\frac{dT_2}{d(S_h)}
(13)



Afbeelding 5. Diagram
Snells punt is waar de afgeleiden van T1 and T2 dezelfde grootte hebben.

Diagram 5 is voor verkenning van de variatie-ruimte, zoals beschreven met vergelijking (13). De waarde in de knop van de schuifregelaar is de positie in de variatie-ruimte van het brekingspunt Sh. In de variatie-ruimte kunnen we T1 en T2 zien als functies van de positie van de positie van punt Sh

In het rechter sub-paneel: de curve met het label T1 geeft de tijd die licht onderweg is van het punt van uitzenden naar het brekingspunt, de curve met het label T2 geeft de tijd die het licht onderweg is van het brekingspunt naar het punt van ontvangen.

Afgeleiden vergelijken

Er is een punt waar de afgeleide van de som (T1 + T2) nul is. Op dat afgeleide-is-nul punt zijn de afgeleides van de curves T1 and T2 even groot, met tegenovergesteld teken.

Discussie

Laten we op dit punt aangekomen terugkijken op wat er is neergezet.

De wet van Snellius is geformuleerd in termen van de sinussen van de hoeken van inval en breking. De reden daarvoor is: voor breking is het de hoek die telt.

De geometrische eigenschap (4) maakt het mogelijk om de wet van Snellius te herformuleren in termen van differentiëren; de afgeleide van de lengte van de hypotenusa naar de lengte van de overliggende zijde.

Van (8) naar (10): delen door de snelheid v verandert de ruimtelijke lengtes (C1,C2) in de tijdsduren (T1,T2).

Dat brengt ons bij (11): het lijkt alsof (11) gaat over tijdsduur, maar feitelik gaat het nog steeds om hoeken. (11) is equivalent aan de wet van Snellius, en de wet van Snellius gaat over hoeken.


Meerdere wegen

Afbeeldng 6. Diagram
Licht dat van één punt van emissie naar één punt van ontvangt gaat, langs verschillende wegen

Diagram 6 toont in schematische vorm een doorsnede van een Fresnel lens. Om te zien voor wat voor dingen Fresnel lenzen worden toegepast: mijn aanbeveling is om te zoeken met de zoektermen
"vergrootglas" "fresnel lens"
De doorsnede kan worden gezien als een kolom van prisma's.

Een Fresnel lens werkt als een afbeelding vormende lens omdat licht dat komend vanaf een brandpunt bij de Fresnel lens arriveert zodanige breking ondergaat dat het aan de andere kant van de lens op het corresponderende brandpunt weer samenkomt. In het diagram zien we dat voor ieder van de wegen waarlangs het licht gaat de tijd dat het licht onderweg is verschillend is.

Wat we zien is dat breking van licht in overeenstemming is met Huygens golffront hypothese.

Refractie door een gekromd oppervlak

Afbeelding 7. Diagram
Breking van licht, gebogen oppervlak

In diagam 7: het ovaal-vormige gebied staat voor een blok glas. Ter vereenvoudiging: als brekings-index is 1.5 gerekend.
Dat wil zeggen: als het 1 eenheid van tijd kost om in lucht 1 eenheid van afstand voor te planten, dan kost het 1.5 eenheid van tijd om door het glas 1 eenheid van afstand voort te planten.
De schuifregelaar verandert de straal van de bovenste cirkel. Het diagram vermindert de straal van de onderste cirkel 1.5 keer sneller dan de straal van de bovenste cirkel toeneemt. Het snijpunt van de twee cirkels geeft de vorm met de eigenschap dat al het licht dat via breking van punt A naar punt B gaat dezelfde hoeveelheid tijd onderweg is.

De radio knop 'aanpassen' schakelt het diagram naar een indeling waarbij de gebruiker kan aanpassen hoe stomp of hoe puntig de ovaal-vorm is.

Wanneer de lucht-glas overgang extra gekromd is: dan is het licht dat vanaf punt A punt B bereikt het licht dat vergeleken met de rest van de variatie-ruimte het langst onderweg is.

Het gaat dus niet om geringste tijd. Diagram 7 demonstreert dat het concept van Fermats tijd een concept van stationaire tijd is; refractie werkt zodanig dat de weg waarlangs het licht beweegt de eigenschap heeft dat de afgeleide van de totale tijd nul is.

Weerkaatsing

Afbeelding 8. Diagram
Weerkaatsing van licht in het geval van een plat oppervlak

In diagram 8: de variatie-ruimte is de rechte lijn waar het licht zal weerkaatsen. Deze variatie-ruimte is een 1-dimensionale ruimte. Zoals we weten: als we de hypothese van Huygens als uitgangspunt accepteren dan volgt daaruit: het ware weerkaatsings-punt is het punt in de variatie-ruimte waar de ingaande hoek en de uitgaande hoek gelijk aan elkaar zijn.

In de sectie rechthoekige driehoekenwas een geometrische eigenschap van rechthoekige driehoeken gedemonstreerd: de afgeleide van de lengte van de hypotenusa naar de breedte van de driehoek is gelijk aan de sinus van de hoek van de hypotenusa.

(In het geval van weerkaatsing is de snelheid van het licht overal langs het traject hetzelfde, en daarmee is het equivalent om de lengte-van-het-traject of de tijdsduur-van-het-traject te gebruiken.)

In diagram 8: het getal onder het verschuifbare weerkaatsings-punt geeft de som van het ingaande deel en het uitgaande deel van het traject. Wanneer het verschuifbare weerkaatsings-punt samenvalt met het ware weerkaatsings-punt is de afgeleide van de som van de lengten nul.



 
Afbeelding 9. Diagram
Weerkaatsing van licht in het geval van een concaaf oppervlak

In diagram 9 is de variatie-ruimte langs het oppervlak van het concave vlak. Het concave vlak is in de vorm van een ellips. In de start-opstelling is de verhouding van de lange as en de korte as zodanig dat de de twee brandpunten van de ellips samenvallen met het punt van uitzenden en het punt van ontvangst. Dat maakt dat overal in de variatie-ruimte de afgeleide van de totale lengte (waarlangs het licht is gegaan) nul is.

De onderste schuifregelaar bewegen heeft als effect dat de lange as van de ellips wordt veranderd. De lange as korter maken heeft als effect dat het weerkaatsende oppervlak méér concaaf wordt. Met een meer concaaf vlak is het punt van weerkaatsing een maximum in de variatie-ruimte.


De bovenstaande diagrammen geven een consistent beeld; bij Fermats stationaire tijd gaat het niet om het minimaliseren van de tijd.

Evalueer de afgeleide naar variatie van de totale tijd. Het punt van weerkaatsing is het punt waar die afgeleide nul is. De totale tijd is op zichzelf niet een factor van belang. Om de afgeleide van de totale tijd te nemen worden de afgeleides van de ingaande en de weerkaatste straal genomen. Door de afgeleide te nemen wordt de hoek van het licht teruggebracht.



Creative Commons License
Tekst, afbeeldingen en animaties zijn beschikbaar gesteld voor anderen onder de volgende voorwaarden:
Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License.

Laatste keer dat deze pagina is bewerkt: 12 april 2026.