Dit artikel is onderdeel van een set van drie; de gemeenschappelijke factor is Variatierekening. In klassieke fysica wordt variatierekening toegepast in drie gebieden: Optica, Statica, en Dynamica. Discussie van toepassing in statica is onderdeel van dit 'Grondslagen' artikel.
De andere twee artikelen:

Optics:	Fermats stationaire tijd
Dynamica:	Hamiltons stationaire actie

Overzicht van de basis van Variatierekening, zoals die wordt toegepast in fysica

1 Motiverend voorbeeld

Image credit: Susan Schwartzenberg - Exploratorium

Als motiverend voorbeeld voor het ontwikkelen van Variatierekening nemen we het geval van een zeepfilm die uitgestrekt is tussen twee co-axiale ringen, zoals getoond in de afbeelding.

De vorm van de zeepfilm is een minimaal oppervlak. De formule voor die vorm zal worden afgeleid met behulp van een vorm van differentiaalrekening.

De strategie:
Het oppervlak van ring naar ring is een omwentelingsoppervlak, dus we kunnen het vraagstuk behandelen als een twee-dimensionaal vraagstuk. De dwarsdoorsnede van het oppervlak is een gekromde lijn, die kromming kan worden benaderd als de oppervlaktes van een stapeling van kegeldelen. In de limiet van infinitisimaal dunne kegeldelen convergeert het resulterende oppervlak naar de de oplossing van het vraagstuk.

Overzicht:

Sectie 2 werkt naar diagram 2.5 toe. Diagram 2.5 is een interactief diagram voor demonstratie van wat het inhoud om het minimale oppervlak probleem op te lossen.

Sectie 3 begint met een uiteenzetting van een economische manier om een algemeen geldige differentiaalvergelijking op te stellen voor het oplossen van variationele vraagstukken (sectie 3.1). Sectie 3 geeft een bespreking van de methode voor het afleiden van de Euler-Lagrange vergelijking die die door een meerderheid van de bronnen wordt geboden.

Sectie 4 In plaats van onmiddelijk overgaan tot toepassing van de Euler-Lagrange vergelijking wordt de bespreking uitgebreidt naar een vraagstuk dat gerelateerd is aan het zeepfilmprobleem: het kettinglijnprobleem. Het kettinglijprobleem en het zeepfilmprobleem zijn familie van elkaar; ze hebben dezelfde oplossing.

De reden om de discussie uit te breiden naar het kettinglijnprobleem: het kettinglijnprobleem is bij uitstek geschikt om te demonstreren hoe differentiaalrekening en variatierekening onderling verbonden zijn. Het kettinglijnprobleem wordt twee keer opgelost; eerst met differentiaalrekening, en vervolgens met toepassing van variatierekening, waarbij de verbondenheid wordt benadrukt. De oplossing van het kettinglijnprobleem is ook de oplossing van het zeepfilmprobleem, omdat de twee vraagstukken dezelfde Lagrangiaan hebben.

Sectie 5 geeft de sleutelpunten van de bespreking van Hamilton's stationaire actie.

2 Eenvoudigste geval: twee afgeknotte kegels

In voorbereiding voor later gebruik:

Beeld 2.1 Afbeelding

Image credit: Elaine Dawe - Quora

het oppervlak van de zijkant van een afgeknotte kegel wordt gegeven door de volgende uitdrukking:

$A = \pi (R + r) \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$

(2.1)

We beginnen met een verkenning van het eenvoudigste geval dat een instantie is van het type probleem dat we willen oplossen:

Afbeelding 2.2 Diagram

Het oppervlak van een kegel is een omwentelingsoppervlak. In een xy-coördinatensysteem kunnen we de y-coördinaat nemen als de radiale afstand. Diagram 2.2 toont twee kegels, die in het xy-vlak zijn geprojecteerd.

De drie getallen underaan geven het volgende weer:
- oppervlak van de kegel met markering '1'
- totale oppervlak van de twee kegels
- oppervlak van de kegel met markering '2'

De schuifregelaar bewegen verandert de straal van de cirkel waar de twee kegels met elkaar verbonden zijn. De waarde die in de schuifregelaarknop staat is die cirkelstraal.

Voor iedere kegel in het diagram is het oppervlak ervan een functie van de beweegbare straal op twee manieren:
- Het oppervlak is evenredig met de omtrek
- Het oppervlak is evenredig met de breedte.

Over de breedte: hoe groter de hellingshoek, hoe groter de effectieve breedte van de kegel. Dat wil zeggen: de breedte is een functie van de afgeleide van de curve.

Afbeelding 2.3 Diagram

Afbeelding 2.4 Diagram

In diagram 2.3: het rechterpaneel toont een overzicht van hoe de oppervlaktes van de twee kegels reageren op toegepaste variatie. Ik zal naar het punt waar het totale oppervlak minimaal is verwijzen als 'het evenwichtspunt'. Bij het toepassen van variatie: A₁ and A₂ veranderen in tegenovergestelde richting. Het punt waar de twee even snel veranderen is het evenwichtspunt.

De curve '-A₂' is de gespiegelde tegenhanger van de curve 'A₂'. Het evenwichtspunt is het punt waar de raaklijnen van de curves A₁ en -A₂ dezelfde hellingshoek hebben.

In diagram 2.4 is het rechterpaneel ingezoomed naar de curve A₁. De andere twee curves zijn verticaal verschoven zodat ze vlakbij curve A₁ in beeld komen.

Afbeelding 2.5 Diagram

In diagram 2.5 zijn er vier schuifregelaars waarmee vier kegels worden gedefiniëerd. (Het diagram maakt gebruik van symmetrie; links en rechts van de y-as zijn spiegelbeeld van elkaar.)

Daadwerkelijk het proces van minimaliseren van het oppervlak doorlopen is de moeite waard. Zet de schuifregelaars op willekeurige posities, doe op het oog een eerste versie. Ga dan successievelijk de schuifregelaars langs, heen en terug, net zolang tot het punt in de variatie-ruimte hebt bereikt waar het oppervlak niet verder verkleint kan worden.

(Om tijd uit te sparen: verschuif alleen de eerste drie schuifregelaars, en laat de vierde op de uitgangspositie staan. Het terugvinden van de evenwichtspositie gaat dan een stuk sneller.)

De radioknoppen met de labels 'x 1', 'x 0.1' and 'x 0.01' wisselen tussen drie groepen van vier schuifregelaars. De tweede en de derde groep zijn voor fijn-afregeling. De knop 'Consolideren' aanklikken doet de volgende twee dingen:
- Bij de waarde van de primaire schuifregelaars worden de waarden van de corresponderende tweedelijns en derdelijns schuifregelaars opgeteld
- De tweedelijns en derdelijns schuifregelaars worden teruggezet naar nulstand

Discussie

Een essentiële eigenschap van het process dat in diagram 2.5 is geïmplementeerd is deze: ieder keer dat je een punt bijstelt heeft dat effect op de status van de naburige punten. Dus die worden vervolgens bijgestelt, maar dat heeft weer effect op de volgende buren, en ga zo door. Iedere lokale verandering werkt door naar de omgeving ervan, uiteindelijk naar de hele curve toe. Het proces is een globaal proces in de zin dat het geminimaliseerde oppervlak de eigenschap heeft dat alle schuifregelaars gezamenlijk op evenwichtspositie staan.

In het diagram: het getal dat wordt getoond is voor de totale oppervlakte. Maar het diagram had ook als volgt geïmplementeerd kunnen worden: toon steeds alleen het gezamenlijke oppervlak van de twee kegels die door een specifieke schuifregelaar worden veranderd. Dan toont het diagram op geen enkel moment de grootte van het totale oppervlak, maar de gebruiker kan nog evenzogoed naar de kleinst mogelijke waarde van het totale oppervlak werken.

In het diagram werk je naar een staat waarbij er voor ieder tweetal van naburige lijnstukken het effect van een aangebrachte verandering even groot. Er is een eenheid van bewerking (illustratie daarvan in Diagram 3.1.1), en in de limiet van een infinitisimaal kleine eenheid van bewerking kan het criterium waaraan moet worden voldan worden uitgedrukt in de vorm van een differentiaalvergelijking. Dat is het onderwerp van de secties 3.1 en 3.2

De differentiaalvergelijking wordt twee keer geconstrueerd. De discussie in sectie 3.1 is specifiek voor het verschaffen van inzicht in waarom de differentiaalvergelijking de vorm heeft die hij heeft. Het inzicht wordt mogelijk gemaakt door toegeeflijk te zijn wat betreft de strengheid van de wiskundige afleiding. Sectie 3.2 geeft de afleiding van die Euler-Lagrange vergelijking zoals die gebruikelijk is in leerboeken. De gebruikelijke afleiding is wiskundig streng, maar hij is zeer ondoorzichtig.

3 De differentiaalvergelijking

3.1 De differentiaalvergelijking construeren

Afbeelding 3.1.1 Diagram

Ik zal naar het triplet van punten in diagram 3.1.1 verwijzen als 'eenheid van bewerking'. Deze bewerkings-eenheid is niet gebonden aan enige plek langs de curve; de eenheid van bewerking wordt overal langs de curve tegelijk toegepast.

We maken de intervallen x_1,2 en x_2,3 even lang, zodat we naar de grootte ervan kunnen verwijzen met de generieke naam 'Δx'. De laatste stap van de afleiding zal zijn de limiet Δx → 0

De constructie van de differentiaalvergelijking is de analytische tegenhanger van het geometrische process van diagram 2.5.

De gebruikelijke vorm van de afleiding in leerboeken is afleiding met behulp van partiële integratie. Behandeling van die manier van afleiden is in de sectie hierna, sectie 3.2

In diagam 3.1.1: de labels 'A' and 'B' hebben een dubbelfunctie: ze verwijzen naar de middenpunten van de respectievelijke lijnstukken, en ze verwijzen naar de lijnstukken zelf.

Voor de hellingshoek van ieder lijnstuk gebruik ik lagrange notatie: de afgeleide van y naar x wordt aangeduidt met y'

$y_A = \frac{y_1 + y_2}{2} \ , \ y'_A = \frac{y_2 - y_1}{\Delta x} \ , \ y_B = \frac{y_2 + y_3}{2} \ , \ y'_B = \frac{y_3 - y_2}{\Delta x}$

(3.1.1)

Voorbereiding: van ieder hiervan de afgeleide naar y

$\frac{dy_A}{dy} = \frac{1}{2} \ , \ \frac{dy'_A}{dy} = + \frac{1}{\Delta x} \ , \ \frac{dy_B}{dy} = \frac{1}{2} \ , \ \frac{dy'_B}{dy} = - \frac{1}{\Delta x}$

(3.1.2)

C_A => de grootte van het oppervlak van conus A
C_B => de grootte van het oppervlak van conus B

Waaraan moet worden voldaan: wanneer variatie van de y-coördinaat wordt toegepast: het punt waar de twee oppervlaktes even snel veranderen; de afgeleiden hebben dan dezelfde grootte (en tegenovergesteld teken):

$\frac{d(C_A)}{dy} = -\frac{d(C_B)}{dy}$

(3.1.3)

In (3.1.3) is het niet zo dat de totale oppervlakte direct wordt geëvalueerd. (3.1.3) vergelijkt twee naburige subsecties. De manier waarop (3.1.1) relateert aan de totale oppervlakte is dat de eis is dat in het gehele domein tegelijk aan (3.1.3) moet worden voldaan.

Voor het oppervlak worden twee factoren met elkaar vermenigvuldigd: de y-coördinaat en (een functie van) de afgeleide van de y-coördinaat. We moeten dus uitwerken naar partiële differentiatie.

$\frac{dy_A}{dy}\frac{\partial C_A}{y_A} + \frac{dy'_A}{dy}\frac{\partial C_A}{y'_A} = -\left( \frac{dy_B}{dy}\frac{\partial C_B}{y_B} + \frac{dy'_B}{dy}\frac{\partial C_B}{y'_B} \right)$

(3.1.4)

De eerste stap van uitwerken van (3.1.4): substitueren met de termen van (3.1.2):

$\frac{1}{2}\frac{\partial C_A}{\partial y_A} + \frac{1}{\Delta x}\frac{\partial C_A}{\partial y'_A} = - \left( \frac{1}{2}\frac{\partial C_B}{\partial y_B} - \frac{1}{\Delta x}\frac{\partial C_B}{\partial y'_B} \right)$

(3.1.5)

Zonder de haakjes:

$\frac{1}{2}\frac{\partial C_A}{\partial y_A} + \frac{1}{\Delta x}\frac{\partial C_A}{\partial y'_A} = - \frac{1}{2}\frac{\partial C_B}{\partial y_B} + \frac{1}{\Delta x}\frac{\partial C_B}{\partial y'_B}$

(3.1.6)

Breng alle termen naar dezelfde kant, en doe een herordening. In (3.1.6) staan de termen met C_A en C_B bij elkaar, in (3.1.7) zijn de termen met y respectievelijk y' bij elkaar gezet.

$\frac{1}{2}\frac{\partial C_A}{\partial y_A} + \frac{1}{2}\frac{\partial C_B}{\partial y_B} - \frac{1}{\Delta x}\frac{\partial C_B}{\partial y'_B} + \frac{1}{\Delta x}\frac{\partial C_A}{\partial y'_A} = 0$

(3.1.7)

$\frac{1}{2} \left( \frac{\partial C_A}{\partial y_A} + \frac{\partial C_B}{\partial y_B} \right) - \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{\partial C_B}{\partial y'_B} -\frac{\partial C_A}{\partial y'_A} \right) = 0$

(3.1.8)

De uitdrukking is nu klaar om de limiet Δx → 0 te nemen.

In de limiet van Δx → 0:
- de term met twee (partiële) differentiaties naar y wordt dan de partiële afgeleide van C naar y.
- de term met twee (partiële) differentiaties naar y' is hoeveel de term (∂C/∂y') verandert van het interval x₁x₂ naar het interval x₂x₃. In de limiet van Δx → 0 wprdt dat de afgeleide naar x van (∂C/∂y')

$\frac{\partial C}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial C}{\partial y'}\right) = 0$

(3.1.9)

3.2 Integratie van een testfunctie

In deze sectie: bespreking van de gebruikelijk manier om de Euler-Lagrange vergelijking af te leiden.

Notation:

y(x)	De functie die we willen vinden.
ε	vermenigvuldigingsfactor
y_ε(x)	testfunctie om de variatie toe te passen

Afbeelding 3.2.1 Diagram
Testfunctie voor variatie y_ε(x)

In diagram 3.2.1: Differentiatie naar variatia kan worden opgesteld door differentiatie naar ε op te stellen; de hoogte van de testcurve y_ε(x) is een functie van ε.

Voor het doel waar de testfunctie wordt gebruikt is het voldoende als de functie de volgende eigenschap heeft:
y_ε(a) = y_ε(b) = 0
(Plus natuurlijk de standaard benodigde eigenschappen zoals differentiëerbaarheid.)

Afbeelding 3.2.2 Diagram

Het startpunt en het eindpunt van de hulpfunctie hoeven niet samen te vallen met fysieke punten van de probleemstelling. Hoe de gevonden algemene oplossing op de specifieke omstandigheden van de probleemstelling word gezet komt pas later.

De afleiding van de Euler-Lagrange vergelijking heeft de eigenschap dat de afleiding dat alle stappen van de afleiding onafhankelijk zijn van:
- waar langs de curve de punten 'a' en 'b' gesitueerd worden
- de afstand tussen de punten 'a' en 'b'.

Anders gezegd: het staat vrij om de variatie te zien als een enkelvoudige variatie, die een aanzienlijke afstand overspant, maar we kunnen de variatie ook zien als meerdere instanties, zo smal als we maar willen, in een verdeling over de lengte van de curve. Voor ieder van deze implementatie details is de logica van de afleiding hetzelfde.

De opstelling:

$I[y(x) + \epsilon y_{\epsilon}(x)] = \int_a^b F \big( \ y(x) + \epsilon y_{\epsilon}(x), \ y'(x) + \epsilon y_{\epsilon}^\prime(x) \ \big) dx$

(3.2.1)

De integrand van de integratie is hier genoteerd met een hoofdletter F, om uit te drukken dat het niet gaat om de functie die we als oplossing van het probleem willen bereiken.

De integratie laten vervallen

Het doel is nu om tot een uitdrukking te komen die ons in staat stelt om de opllossing te vinden zonder ooit de integraal te evalueren. Dat wil zeggen, we willen in de afleiding op een punt komen waar we de integratie kunnen laten vervallen.

We introduceren een vermenigvuldigingsfactor ε en we stellen een afleiding naar ε op. Merk op dat we wel de afgeleide naar ε nodig hebben, maar het is niet zo dat we die nodig hebben voor een bereik aan waardes van ε; het is voldoende om de afgeleide naar ε te hebben op het punt waar ε nul is.

$\frac{d}{d\epsilon} I[y(x) + \epsilon y_{\epsilon}(x)] \bigg\rvert_{\epsilon=0} = 0$

(3.2.2)

De kettingregel toepassen:

$\int_a^b \left( y_{\epsilon}(x)\frac{\partial F\left(y(x), y'(x)\right)}{\partial y} + y_{\epsilon}^\prime(x) \frac{\partial F\left(y(x), y'(x)\right)}{\partial y'} \right) dx = 0$

(3.2.3)

Om verder te komen moet (3.2.3) naar een vorm worden gebracht waar de test functie y_ε(x) kan komen te vervallen.

In (3.2.3) wordt voortgang belemmerd door het feit dat er in (3.2.3) een afgeleide van y_ε(x) naar x staat. Die afgeleide moet worden omgezet in iets anders.

We gaan de produktregel van differentiatie gebruiken voor een proces van overdracht van differentiatie van de test functie y_ε(x) naar de uitdrukking F(y(x),y'(x)).

The volgende term van (3.2.3) is degene die zal worden getransformeerd:

$y_{\epsilon}^\prime(x) \frac{\partial F\left(y(x), y'(x)\right)}{\partial y'} \right)$

(3.2.4)

Om ruimte uit te sparen: vanaf dit punt zal (3.2.4) worden genoteerd als:

$y_{\epsilon}^\prime(x) \frac{\partial F}{\partial y'} \right)$

(3.2.5)

The uitdrukkingen (3.2.6), (3.2.7), (3.2.8), and (3.2.9) presenteren het transformatieproces. Het transformatieproces verandert (3.2.3) in (3.2.10)

Hieronder de relatie die zal worden gebruikt: de produktregel van differentiatie:

$\frac{d\big(f(x) g(x)\big)}{dx} = \frac{d\big(f(x)\big)}{dx}g(x) + f(x)\frac{d\big(g(x)\big)}{dx}$

(3.2.6)

In (3.2.7): de eerste term aan de rechterkant is de term die we willen transformeren. De andere termen zijn zo gearrangeerd dat de vorm van (3.2.7) overeenkomt met de het patroon (3.2.6).

$\frac{d}{dx} \left( y_{\epsilon}(x) \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = y_{\epsilon}^\prime(x) \frac{\partial F}{\partial y'} + y_{\epsilon}(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right)$

(3.2.7)

Integratie van beide zijden van (3.2.7), van punt a tot punt b:

$\left( y_{\epsilon}(x) \frac{\partial F}{\partial y'} \right) \bigg|_a^b = \int_a^b \left( y_{\epsilon}^\prime(x) \frac{\partial F}{\partial y'} + y_{\epsilon}(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) \right) dx$

(3.2.8)

(3.2.8) is de reden waarom gespecificeerd is dat de testfunctie y_ε(x) nul is op de punten x=a and x=b.

Met y_ε(a) = y_ε(b) = 0 evaleert de linkerkant van (3.2.8) naar de waarde nul, en daaruit volgt:

$\int_a^b y_{\epsilon}^\prime(x) \frac{\partial F}{\partial y'} dx = \int_a^b - \ y_{\epsilon}(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) dx$

(3.2.9)

Discussie:
De specificatie y_ε(a) = 0, y_ε(b) = 0 maakt het mogelijk om de differentiatie over te dragen van de ene term naar de andere. Dit is ook de enige plek waar er gebruik van wordt gemaakt. Dat wil zeggen: de specificatie y_ε(a) = 0, y_ε(b) = 0 heeft maar één functie: de overdracht van de differentiatie mogelijk maken.

En nogmaals: de overdracht van de differentiatie heeft geen afhankelijkheid van de posities van a and b. Ze kunnne overal langs de curve gepositioneerd zijn, inclusief willekeurig dicht bij elkaar.

De relatie (3.2.9) maakt het mogelijk om (3.2.3) naar de volgende uitdrukking om te zetten:

$\frac{d}{d\epsilon} \int_a^b \left( y_{\epsilon}(x)\frac{\partial F}{\partial y} - \ y_{\epsilon}(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) \right) dx \bigg\rvert_{\epsilon=0} = 0$

(3.2.10)

Nu de differentiatie is overgedragen kunnen we de term y_ε(x) buiten haakjes halen:

$\frac{d}{d\epsilon} \int_a^b \left(\frac{\partial F}{\partial y} - \ \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) \right) y_{\epsilon}(x) dx = 0$

(3.2.11)

Zoals aan het begin was aangekondigd: we willen aankomen bij een punt waar we de volgende twee dingen kunnen weglaten: de testfunctie y_ε(x), en de integratie. Met (3.2.11) zijn we bij dat punt aanbeland.

Om te voldoen aan (3.2.11) is dit voldoende:

$\frac{\partial F}{\partial y} - \ \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0$

(3.2.12)

Discussie

Een essentiëel onderdeel van de afleiding van de Euler-Lagrange vergelijking is dat de integratie komt te vervallen. Als de integratie blijft staan is het niet mogelijk om verder te komen.

Dat roept de vraag op: het probleem is in eerste instantie geformuleerd in termen van een integraal. Hoe kan het dat zonder de integratie het probleem toch nog naar een oplossing kan worden gevoerd? De verklaring daarvoor: de uitdrukking is omgewerkt naar een vorm die evenveel wiskundige kracht heeft: een differentiaalvergelijking.

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking met een globaal bereik in de volgende zin: de oplossing is een curve met de eigenschap dat overal langs de curve aan de differentiaalvergelijking wordt voldaan. Dit was al eerder in dit artikel besproken, naar aanleiding van diagram 2.5; het proces om uit te komen op een punt waar er overal tegelijk een evenwicht is.

Het kettinglijnprobleem

zoals aangekondigd in het overzicht: in plaats van direct door te gaan naar oplossing van het zeepfilm probleem ga ik eerst naar het kettinglijnprobleem.

In de volgende sectie: het kettinglijnprobleem wordt eerst opgelost met differentiaalrekening, en daarna met variatierekening. De reden voor die volgorde zal worden uitgelegd.

4 De kettinglijn

4.1 Introductie

Afbeelding 4.1.1 Diagram
Kettinglijn

In diagram 4.1.1: de kettinglengte tussen de ophangpunten is de kettinglijnvorm. De vertikale lijnen aan weerskanten, vanaf het ophangpunt naar onderen, staan voor kettinglengte. Deze verticaal hangende stukken ketting leveren spankracht die de kettinglijn hoog houdt.

In het diagram: de kracht die de kettinglijn uitoefent bij het ophangpunt is ontbonden in twee componenten. De grootte van de verticale component is gelijk aan het gewicht van de kettinglengte. De grootte van de horizontale component is een functie van de volgende twee factoren: het gewicht van de kettinglengte, en de hellingshoek van de ketting bij het ophangpunt. Ik zal naar de totale kracht die door de kettinglijn wordt uitgeoefend verwijzen met de naam 'hangkracht'.

The twee hoopjes ketting aan weerszijden staan voor lengte-overschot op een gegevan hoogte onder het ophangpunt. Alleen het het gedeelte dat vrij hangt boven het verzamelhoopje draagt bij aan het leveren van spankracht, dus de hoeveelheid geleverde kracht is een constante. Ik zal hiernaar verwijzen met de naam 'geleverde spankracht'.

De hangkracht en de geleverde spankracht werken tegenover elkaar. Ik zal naar de resultante kracht verwijzen met de naam 'non-evenwicht'.

Met de checkbox 'non-evenwicht' aangevinkt: het getal in het diagram geeft voor de lengte van de kettinglijn hoe de tegenovergestelde krachten ervoor staan. Een negatieve waarde van non-evenwicht betekent dat er niet genoeg geleverde kracht is; wanneer de ketting vanaf dat punt wordt losgelaten dan zal de kettinglijn naar beneden zakken. Interessant om te zien: het blijkt dat er twee plekken zijn waar het elkaar kruist. Wanneer de schuifregelaar bij 1.44 komt wordt de waarde van 'non-evenwicht' weer negatief.

Met de checkbox 'Lengte' aangevinkt: de weergeven waarde is de lengte van de ketting van middenpunt naar ophangpunt. De verticale component van de hangkracht is gelijk aan de lengte van de kettinglijn.

Coördinatensysteem van het diagram

Het coördiatensysteem is zo opgesteld dat de twee ophangpunten uitkomen op x=-1 and x=1 respectievelijk. Voor het gewicht van de ketting is genomen: één eenheid van gewicht per eenheid van lengte. De geleverde spankracht is zo ingesteld dat de met de ketting in evenwichtpositie de horizontale component van de spankracht uitkomt op 1 eenheid van kracht.

4.2 De kettinglijn in termen van krachtevenwicht

Diagram 4.2.1 illustreert waarom het mogelijk is om de oplossing van het kettinglijnprobleem te vinden met een differentiaalvergelijking.

Afbeelding 4.2.1 Diagram
The spanning langs de kettinglijn

De vorm is symmetrisch, en daarom is het voldoende om te evalueren van het middenpunt naar het eindpunt.

Met:

T_H	De horizontale component van de spankracht
λ	Gewicht per eenheid van lengte
L	De lengte van de ketting van het middenpunt tot de x-coördinaat.

Het gewicht dat hoog moet worden gehouden op coördinaat x wordt verkregen door vermenigvuldigen: het produkt van de lengte L en het gewicht-per-eenheid-van-lengte: λL

In diagram 4.2.1: beweeg de schuifregelaar, en kijk naar wat de horizontale component van de spankracht doet. De horizontale component heeft over de hele lengte van de curve dezelfde grootte. Het is een opmerkelijke onafhankelijkheid. Zonder zwaartekracht zou de ketting niet hangen, en zou er dus ook geen horizontale component zijn. Het is dus wel zo dat de zwaartekracht de bron is van de horizontale component, maar tegelijk: de horizontale component is haaks op de zwaartekracht; er is niet een externe kracht in horizontale richting, en daarom is de horizontale component van de kracht constant over. In een breder perspectief: we kunnen deze constante factor zien als een behouden hoeveelheid. De berekening evalueert een functie van de x-coördinaat, en ten opzichte van de x-coördinaat is er een behouden hoeveeldheid.

Construeren van de differentiaalvergelijking

In voorbereiding: vanaf het middenpunt naar eindpunt neemt de hellingshoek van de curve toe. Hoe groter de hellingshoek, hoe meer kettinglengte er is per eenheid van lengte. (4.1) geeft een uitdrukking voor dL/dx.

$(dL)^2=(dx)^2+(dy)^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{dL}{dx} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$

(4.2.1)

De evenwichtsvorm heeft de volgende eigenschap: op ieder punt langs de lengte van de ketting is de spankracht parallel aan de lokale hellingshoek.

Op ieder punt van de ketting is het zo dat het uiteinde van de ketting boven dat punt de benodigde kracht levert om het gewicht beneden dat punt hoog te houden.

Daaruit volgt: voor de spankracht geldt: de verhouding van de vertikale component en de horizontale component is op ieder punt van de curve gelijk aan de tangens van de hellingshoek:

$\frac{dy}{dx} = \frac{\lambda L}{T_H}$

(4.2.2)

(4.2.1) heeft de factor L in de vorm van de afgeleide van L naar x with respect to x, dus om (4.2.1) in te kunnen zetten moeten we (4.2.2) daarop aanpassen. We moeten van L naar dL/dx gaan.

Op dit punt is er een eigenschap van de kettinglijn die in ons voordeel werkt: de horizontale component van de spankracht is overal hetzelfde. Dat vereenvoudigt de differentiatie; de factor T_H gaat onveranderd mee, want T_H is niet een functie van x.

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\lambda}{T_H} \frac{dL}{dx}$

(4.2.3)

Combineren van (4.2.3) en (4.2.1) bereikt het doel: vergelijking (4.2.4) is in termen van de cartesische coördinaten x y:

$\frac{T_H}{\lambda}\frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$

(4.2.4)

(De bedenker van de volgende strategie om (4.2.4) op te lossen is Daniel Rubin.
Youtube video: the Catenary )

(4.2.5) is (4.2.4) met de factor T_H/λ weggelaten.

(4.2.5)

Eerst wordt de volgende substitutie toegepast: , en daarna worden beide zijden van de vergelijking gekwadrateerd. Het kwadrateren introduceert een ongeldige oplossing; die moet dus in een later stadium verworpen worden.

(4.2.6)

Neem de afgeleide naar x:

(4.2.7)

Aan beide kanten delen door 2du/dx:

(4.2.8)

De functie die de vorm van de kettinglijn beschrijft heeft dus de eigenschap: nadat je twee keer hebt gedifferentiëerd ben je terug bij de oorspronkelijke functie. De hoeveelheid verschillende mogelijkheden worden daarmee teruggebracht tot twee. Die twee zijn de volgende twee uitdrukkingen, die de volgende twee namen hebben: 'hyperbolische cosinus' en 'hyperbolische sinus:

(4.2.9)

Van deze twee is de eerste de oplossing van (4.2.5)

4.3 De kettinglijn in termen van geminimaliseerde potentiële energie

Wanneer de hangende ketting nog heen en weer slingert is er heen en terug omzetting tussen kinetische energie en potentiële energie. Door het zwaaien dissipeert er kinetische energie naar warmte. Wanneer de ketting tot stilstand is gekomen is de ketting in een staat waarbij er geen gelegenheid meer is voor dissipatie van energie.

Daaruit volgt: de hangende ketting moet de volgende eigenschap hebben: iedere verandering van de vorm brengt de kettng naar een vorm met een hogere potentiële energie dan de staat van rust; de potentiële energie is de kleinst mogelijke potentiële energie.

De definitie van potentiële energie: minus de integraal van kracht over afstand.

$E_p = - \int_{s_0}^s F \ ds$

(4.3.1)

In het geval van een uniforme kracht vereenvoudigt de integratie naar een vermenigvuldiging. Over zo'n klein hoogeverschil wordt zwaartekracht gerekend als een uniforme kracht. Van hoogte h₀ naar hoogte h:

$\Delta E_p = mgh - mgh_0$

(4.3.2)

Om het eenvoudig te houden: we zetten alle constanten op een waarde van 1 eenheid, en we rekenen h₀ als nul. Dan is de waarde van de potentiele energie gelijk aan de waarde van de hoogte h.

Op dit punt aangekomen kunnen we zien wat er zal gebeuren: de Euler-Lagrange operator zal de uitdrukking voor de potentiële energie veranderen in de uitdrukking voor de kracht.

Hieronder wordt de benadering met minimaliseren van de potentiële energie uitgewerkt:
De integraal van de potentiële energie, van het middenpunt tot een eindpunt op coördinaat x:

$I = \int_0^x y \ \sqrt{1 + (y')^2} \ dx$

(4.3.3)

De factor √ (1+(y')²) in de integrand is voor de hoeveelheid kettinglengte per eenheid van afstand langs de x-as.

Zoals eerder aangekondigd, het kettinglijnprobleem en het minimaal oppervlak probleem zijn verwant; (3.3.2) is de integraal voor hoeveel oppervlak de zeepfilm heeft, en (4.3.3) heeft dezelfde vorm als (3.3.2).

Om verder te komen gebruiken we dezelfde strategie als bij de differentiaalrekening aanpak: we maken gebruik van een bepaalde eigenschap: de eigenschap van de kettinglijn dat de horizontale component van de lengtespanning constant is.

De integrand in (4.3.3) heeft de termen 'y' en 'dy/dx', maar niet een term met de x-coördinaat op zichzelf. Die omstandigheid maakt het mogelijk om de Euler-Lagrange vergelijking om te werken naar een eenvoudiger uitdrukking. De naam van die eenvoudiger uitdrukking is 'Beltrami identiteit'.

Afleiding: Appendix I: the Beltrami identiteit

The Beltrami identiteit: if dan:

$L - y' \frac{\partial L}{\partial y'} = C$

(4.3.4)

Waarbij C een constante is.

De integrand van (4.3.3)invoegen in de rechterkant van (4.3.4) geeft (4.3.5). De uitdrukking ziet er moeilijk uit, maar veel van de termen vallen tegen elkaar weg.

$y \ \sqrt{1 + y'^2} - \frac{y \ y'^2}{\sqrt{1 + y'^2}} = \frac{y \big((1 + y'^2) -y'^2 \big)}{\sqrt{1 + y'^2}} = \frac{y}{\sqrt{1 + y'^2}}$

(4.3.5)

gelijkstellen aan een constante C

$\frac{y}{\sqrt{1 + y'^2}} = C \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{y}{C} = \sqrt{1 + y'^2}$

(4.3.6)

Voorlopig zetten we de waarde van de constante C op '1'.

(4.3.7)

Het volgende is speciaal interessant: differentiatie naar x veranderd (4.3.7) in een uitdrukking die hetzelfde is als (4.2.5)

$y' = \tfrac{1}{2} \cdot \frac{2y' y''}{\sqrt{1 + y'^2}} \qquad \Leftrightarrow \qquad y'' = \sqrt{1 + y'^2}}$

(4.3.8)

Als twee treinsporen die samenkomen in één spoor: de differentiële benadering en de variationele benadering komen op dit punt samen. De reden waarom de twee benaderingen uitkomen op hetzelfde spoor wordt besproken in de volgende sectie, sectie 4.4

4.4 Discussie: relatie tussen kracht-evenwicht benadering en energie minimalisatie benadering

Om het kettinglijnprobleem te behandelen in termen van minimale potentiële energie: de uitdrukking voor de potentiële energie was verkregen door de uitgeoefende kracht (hier de zwaartekracht) te integreren naar de hoogte 'h'.

De Euler-Lagrange operator differentiëert die uitdrukking. Dat houdt dus in dat de Euler-Lagrange de uitdrukking voor de potentiële energie terugverandert in de uitdrukking voor de kracht.

Dat wil zeggen:
Weliswaar lijkt het alsof er twee vershillende benaderingen zijn voor het oplossen van het kettinglijnprobleem:
- kracht-evenwicht vergelijken
- Potentiële energie minimaliseren
de twee benaderingen zijn feitelijk één en dezelfde.

De bewerking die de Euler-Lagrange vergelijking uitvoert is gevisualiseerd in diagram 2.5; in the limiet van infinitisimaal kleine incrementen in de richting van de x-as verkrijg je de Euler-Lagrange vergelijking.

5 Klassieke Mechanica

Hoofd-artikel:
Toepassing van Variatierekening in Klassieke Mechanica

In voorbereiding een integratie.
Laat a een willekeurig acceleratie-profiel zijn. Voorwaarde: de acceleratie als functie van de tijd moet een differentiëerbare functie zijn.
De differentiatie is van een startpunt s₀ tot een eindpunt s.

$\begin{array}{rcl} \int_{s_0}^s a \ ds & = & \int_{t_0}^t a \ v \ dt = \int_{t_0}^t v \ a \ dt = \int_{v_0}^v v \ dv = \tfrac{1}{2}v^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2 \end{array}$

In de bovenstaande reeks operaties: de tweede rij geeft aan wat voor substitutie er is toegepast. Beide keren dat de differentiaal verandert, veranderen de limieten overeenkomstig.

Zonder de tussenstappen:

$\int_{s_0}^s a \ ds = \tfrac{1}{2}v^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2$

(5.1)

Om in klassieke mechanica de Euler-Lagrange toe te kunnen passen moeten we begrippen construeren, zodanig dat wanneer die begrippen in de Euler-Lagrange vergelijking worden ingevoegd de Euler-Lagrange vergelijking F=ma zal terugwinnen. De Euler-Lagrange operator differentiëert, dus we moeten het omgekeerde doen: integreren.

We nemen F=ma en we integreren beide zijden naar positie-coördinaat.

$\int_{s_0}^s F \ ds = \int_{s_0}^s ma \ ds$

(5.3)

We gebruiken (5.1) om de rechterkant uit te werken:

$\int_{s_0}^s F \ ds = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2$

(5.4)

(5.4) is het werk-energie theorema.
De linkerkant van (5.4) is de uitdrukking voor verrichte arbeid, en de rechterkant is de kinetische energie.

Potentiële energie is gedefiniëerd als minus de verrichte arbeid.

$\Delta E_p = - \int_{s_0}^s F \ ds$

(5.5)

Met potentiële energie gedefiniëerd in overeenkomst met het werk-energie theorema hebben we de volgende eigenschap: bij omzetting tussen potentiële energie en kinetische energie is de hoeveelheid verandering hetzelfde:

$\Delta (E_k) = - \Delta (E_p)$

(5.6)

Door de differentiatie naar positie-coördinaat wordt de F=ma teruggewonnen:

$\frac{d(-E_p)}{ds} - \frac{d(E_k)}{ds} = 0$

(5.7)

De vorm van (5.7) kan zo worden aangepasgt dat het resultaat samenvalt met de vorm van de Euler-Lagrange vergelijking.

$\frac{d(-E_p)}{ds} - \frac{d}{dt}\frac{d(E_k)}{dv} = 0$

(5.8)

(5.9) en (5.10) demonstreren de gelijkwaardigheid van (5.7) en (5.8): (5.9) en (5.10) evalueren beide naar ma.

$\frac{d(\tfrac{1}{2}mv^2)}{ds} = \tfrac{1}{2}m\left( 2v\frac{dv}{ds} \right) = m\frac{ds}{dt}\frac{dv}{ds} = m\frac{dv}{dt} = ma$

(5.9)

$\frac{d}{dt} \left( \frac{d(\tfrac{1}{2}mv^2)}{dv} \right) = \frac{d}{dt} (mv) = ma$

(5.10)

Appendix: De Beltrami identiteit

De relatie tussen de Euler-Lagrange vergelijking en de Beltrami identiteit is als volgt: de Beltrami identiteit is de Euler-Lagrange vergelijking waarbij er is teruggewerkt om een differentiatie naar x tussenuit is gehaald.

Voorbereiding voor later:
De produkt regel voor differentiatie:

$\frac{d\big(f(x) g(x)\big)}{dx} = \frac{d\big(f(x)\big)}{dx}g(x) + f(x)\frac{d\big(g(x)\big)}{dx}$

(I.1)

In de afleiding van de Beltrami identiteit zal de produkt regel in de omgekeerde richting worden gebruikt: de regel zal worden gebruikt om twee termen samen te voegen tot één term.

$\frac{d\ f(x)}{dx} \ g(x) + f(x) \ \frac{d\ g(x)}{dx} = \frac{d(f(x)g(x))}{dx}$

(I.2)

In het geval van het zeepfilm probleem en het kettinglijnprobleem: de waarde van de integrand is niet direct een functie van de x-coördinaat. Dat wil zeggen: de integrand heeft een factor die een functie van 'y' is, en een factor die een functie van 'dy/dx' is, maar niet een factor met de x-coördinaat op zichzelf.

De volgende uitdrukking is de meest algemene uitdrukking voor een afgeleide van een functie F naar x. Er zijn drie termen: voor x, voor y, en voor y':

$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dx} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx} + \frac{\partial F}{\partial y'}\frac{dy'}{dx}$

(I.3)

Maar zeepfilm en kettinglijn vallen in een nauwere klasse: geen factor die direct een functie van x is, dus de partiële afgeleide naar x kan worden weggelaten:

$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial y}y' + \frac{\partial F}{\partial y'}y''$

(I.4)

Om van de Euler-Lagrange vergelijking naar de Beltrami identiteit te gaan moeten de volgende doelen worden bereikt:
- Combineren van (I.4) en de Euler-Lagrange vergelijking
- De twee termen aan de rechterkant van (I.4) laten samenvallen tot één term
- Die ene term moet een differentiatie naar x zijn.

aan de rechterkant van (I.5) staat de term ∂F/∂y. We gebruiken de volgende vorm van de Euler-Lagrange vergelijking om de term ∂F/∂y te substitueren:

(I.5)

Herschikken:

$\frac{dF}{dx} = y' \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) + y'' \frac{\partial F}{\partial y'}$

(I.6)

De substitutie heeft alledrie de doelen bewerkstelligd.
De volgende stap is de produktregel achteruit toepassen: de twee termen aan de rechterkant van 1.6 zijn volgens hetzelfde patroon als de linkerkant van (I.2), dus ze kunnen worden samengevoegd tot een enkele term.

$y' \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) + y'' \frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{d}{dx} \left( y' \frac{\partial F}{\partial y'} \right)$

(I.7)

(I.8) is (I.6), met de rechterkant gesubstitueerd volgens (I.7).

$\frac{dF}{dx} = \frac{d}{dx} \left( y' \frac{\partial F}{\partial y'} \right)$

(I.8)

De differentiatie kan buiten haakjes worden gehaald:

$\frac{d}{dx} \left(F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0$

(I.9)

Als de uitdrukking binnen de haakjes een constante is dan is de afgeleide nul, en dan is er dus aan (I.9) voldaan. De uitdrukking binnen de haakjes gelijkstellen aan een constante is de Beltrami identiteit.

$F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} \right = C$

(I.10)

Keer terug naar de plek waar de Beltrami identiteit wordt gebruikt

Tekst, afbeeldingen en animaties zijn beschikbaar gesteld voor anderen onder de volgende voorwaarden:
Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License.

Laatste keer dat deze pagina is bewerkt: 12 april 2026.

·	Rotatie-vibratie koppeling
·	Inertiaaloscillaties
·	Vergelijking van inertiaaloscillaties met ballistische beweging
·	De slinger van Foucault
·	Het Eötvös effect
·	Coriolis debietmeter

·	Behoud van impulsmoment
·	De uitdijing van de evenaar

·	Portaal
·	Fermats stationaire tijd
·	Variatierekening
·	Hamiltons stationaire actie